なぜフィボナッチ数列が現れるのか？

前の前の記事で、日の出丸の稜の数が、
ルールに沿って規則的に増えていること、
そのルールとは、日の出丸の稜数は、有名なフィボナッチ数列に一致し、
5稜→8稜→13稜→21稜となって成長していくことを書きました。
　●前の記事→《日の出丸系の稜数を数えた（7月8日）》

当初、とても不思議なことと思っていましたが、
草であるサボテンが複雑なことをするはずがないという信念（？）のもと、
なぜそうなるのか考えてみました。

これは増稜中の日の出丸の頂上から眺めた姿ですが、
増稜は、ひとつの稜が2つに分裂して2つになることで進行します。

話を単純化するために、5稜だったものが8稜になる場合を考えてみます。

絵としてはこんな感じになるわけです。

ここで、稜には2種類あることが推察されます。
分裂して増稜に寄与する稜と、分裂しない稜です。
この絵では、3つが増稜していき、2つがそのままです。
その結果、5稜から8稜に増稜します。
（いちどに全部の稜が、増稜すれば稜の数は倍々になっていくはずです。
自然はこの道は選びませんでした）

問題は、増稜する稜としない稜は、どんな関係にあるのかです。
8稜に増えた後は、その次は13稜になることが分かっています。
つまり8稜のうち、5稜だけが分裂して増える計算になります。
この5という数値は、8稜になる前の稜数の5稜に一致しているのです。

どうもサボテンは（日の出丸ですけれど）、増稜する際に、
その前の稜数を覚えていて、その稜だけが分裂するということを
繰り返すようなのです。

フィボナッチ数列は、前2項の和が、次項になるという規則性に従う
数列ですが、サボテンは（日の出丸ですが）、増稜するときに、
前の稜数を覚えていてその分だけ分裂をするために、
現在の稜数とその前の稜数を加算した稜数になるようなのです。
その結果、5稜→8稜→13稜→21稜・・・その次は34稜（たぶん）と
増えていくのです。

全稜が分裂すれば、倍々になっていくはずですが、
実際には、過去の稜数を記憶していて、その部分だけ分裂していくことで、
フィボナッチ数列が現れるのでしょう。
倍々ゲームの増稜は、かなりのエネルギーが必要になるはずで、
かといってできるだけ成長しようとするのが生命の命題です。
そこで、こんな方式をとったのではないかと思われます。
増稜したとかしなかったとかの簡単な記憶メカニズムが、
サボテンのどこかに（日の出丸の場合ですが）あるはずです。

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コメント 2

saborichさんも考え続けていたんですね。私もですよ。
私が考えたところでは・・・
増稜は均等に行われるのでなく、親と子の関係があるのではないでしょうか？つまり、元の稜に新たな稜（子の稜）ができると考えました。子の稜は未熟なので次の増稜の時期には子の稜は増稜せず、古い稜（親の稜）が増稜します。そうすると必然的に前回の稜数分が増稜することになります。古い稜が次に増稜するという仮説です。いかがでしょうか？

観察要ですね。楽しみになってきました。
しかしなぜ日の出丸がフィボナッチ数列を守っているいるのか不思議です。日の出丸は律儀な奴でなんですかね。


by おたやん (2012-07-12 21:33) 

おたやんさん、どうもありがとうございます。
モヤモヤしていたことが、ひとつ分かった気がします。
つまり、稜が分裂する際に、均等な分割だとすると、
どうして分割した片側のみが、次の増稜に寄与するのだろうと
不思議に感じていたのです。

おたやんさんの推察するとおり、ひとつが分割する際に、
均等な稜がふたつ出来るのではなく、
親子関係の子供が新たにできると考えるのが自然ですね。
子吹いて子供が増えるように。
そして、子供として増えた稜は、次の増稜の能力が備わっていないのでしょうね。ひと世代過ぎて、ようやく増稜能力（生殖能力みたいなもの）を身につけるのだと思います。

では実際の増稜中の画像から、どちらが親でどちらが子供かという
判別が出来るものかな？と考え始めています。
記事中の画像で、アレオーレが出始めている方が、
親なのかな？などと。
興味は尽きませんね。
（例のとおり、マニアックのそしりは免れませんけれど。アハハ）

by saborich (2012-07-12 22:07)